“数形结合”贵在巧用

 

  【摘 要】本文从“数形结合”在教材中的体现以及在中考试题中的灵活运用两个方面谈谈“数形结合”的重要性以及应用的技巧。
中国论文网 http://www.xzbu.com/5/view-5485469.htm
  【关键词】中学数学;“数形结合”;巧用
  形的抽象概括是数,数的直观表现是形。初中数学中两个最基本的概念是“数”和“形”,数学学科的重要思想包括数形结合思想,同时它又是数学研究的常用方法。利用数形结合思想解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转化为代数信息,利用数量特征,将其转化成代数问题,在解决与数量相关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题。教师在教学时,要教会学生在利用数形结合的思想方法中,不但知其然,更要知其所以然。
  下面从“数形结合”在教材中的体现以及在中考试题中的灵活运用两个方面谈谈“数形结合”的重要性以及应用的技巧。
  首先谈一谈“数形结合”在教材中的体现与作用:
  一、数形结合在数与代数中的含蓄与外敛
  与原教学大纲相比较,“数形结合”的内容在新课程中明显有了有很大的变化。比如苏科版七年级下册第九章从面积到乘法公式中,不是单纯的去讲整式的乘法而是借助于图形让学生去观察、思考、体会,进而解决了如乘法公式与因式分解中学生较难解决的问题,收到了很好的教学效果。又如八上第四章“数量位置的变化”中,有一篇关于心电图的阅读内容,通过阅读使学生了解到心电图把有关的数据直观地反映出来,感受到生物电流的数量的变化可以转化为图形的变化,很好的建立了“数”与“形”的关系。又比如,二元一次方程组的图像解法、函数图象的交点问题、平移问题、翻折问题等等都很好的把数与形有机的结合在一起,对学生探索和解决问题都起到了很好地促进作用。
  二、数形结合在“空间与图形”中的张扬与个性
  笔者认为,在空间与图形的课堂教学中,教师要引导学生善于观察图形,学会在形中寻数,以数现形,体现关系。比如求角度问题、求线段的长度问题、点的运动问题等等,如果发现条件和结论都容易用代数中的式子表示出来,那么,我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中方程或函数来完成。由此可见,解决“空间与图形”中的数形结合问题,教师不可缺少是善于挖掘教材并与现实生活紧密联系,从观察入手,形数兼备,揭示二者的本质联系。
  三、数形结合在“统计与概率”中的开放与升华
  关于统计与概率问题,与以往的教材相比,新课标在教学内容的编排与要求上都进行了很大的变革,其主要目的还是在于是让学生经历统计与测量的全过程,从中发现问题,展开讨论与交流,选择方法,做出决策。例如对于概率问题的教学时,其抽象性使其成为教学上的难点,在计算简单事件的概率时,通过画树状图和列表的方法加以描述,数形结合,收到化难为易的良好效果。
  其次结合近几年的中考数学试题谈一谈数形结合的用途与效果:
  一、以数轴入手,架起数与形沟通的桥梁
  数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉.如新课标中,由温度计抽象为数轴,而数轴便是数形结合的桥梁,充分体现了数形结合的思想。在解决含绝对值符号的代数式化简时,若能巧妙地借助数轴,运用数形结合的思想,把“数”的问题转化为“形”的问题,则可收到化难为易、化繁为简、直观简捷的解题效果。
  例1:实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式│a│-│a+b│+│c-a│+│b-c│的值等于( )。
  A、-a B、2a-2b C、 2c-a D、a
  这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,利用数轴的直观性,结合实数绝对值的几何意义,由数轴上容易看出,b0,b-c<0,体现了数形结合在解题中的直观与简明。
  二、以图像着笔,使学生感悟到形与数和谐统一
  在初中数学的解题中,有时看图、画图比思考更直观更便于解决问问题。因为这样可以较为直观地弄清题意,将复杂的问题变得简单化,抽象的问题变得具体化,形成正确的解题思路,提高解决问题的能力。
  1.巧用“图象”解决关于函数值的问题
  解题时如果从“数”的角度思考“形”的问题,有时会感觉很抽象,甚至不知如何下手,而利用了图象之后,便有可能从图中直接得到答案,使抽象的问题简单化,进而达到事半功倍的效果。
  例1:已知点A(p,y1)(p>0),B(■,-y2),
  C(-2,y3)是二次函数y=2(x+1)2-3图象上的三个点,试比较y1、y2、y3的大小。
  本题在考查运用二次函数性质比较大小,如果先把已知x的值代入函数解析式,再求出相应的函数值进行比较则较繁;若利用函数图象,先根据横坐标在图象中找出相应的点,并结合抛物线的对称性及在对称轴同侧函数的增减性比较大小比较简便。学生通过观察图形,并根据二次函数性质不难发现:y2  2、巧用“图象”解决关于方程或函数的问题
  关于方程和函数的问题在初中数学教学中尤其不可忽视,其中列方程解应用题以及函数的综合应用又是重点中的难点。以列方程解应用题为例,其难点在于如何根据题意找出相等关系列出方程,有时如果根据题意画出相应的示意图往往便可将难点突破.例如,行程问题教学中,老师应渗透数形结合的思想方法引导学生弄清题意,然后根据题意画出相应的示意图.进而帮助学生找出相等关系列出方程,突出了重点,同时更突破了难点。
  例2:已知某铁路桥长1000m,现有一列火车从桥上匀速通过,测得火车开始上桥到完全过桥共用了1min,整列火车在桥上的时间为40s,求火车在桥上的速度和车身长。
  此问题学生理解起来比较困难,不知如何寻找相等关系。笔者认为,教师可以先在黑板上画出相关示意图,再让学生观察思考,借助示意图来寻找相等关系就会显得比较容易。学生不难发现以下两个相等关系:(1)火车1分钟所跑的路程等于桥的长度加上车身的长度;(2)火车40秒所跑的路程等于桥的长度减去车身的长度。问题得以解决,多么令人激动!
  三、以实验探究,展现数形结合的无穷魅力
  在解决一些实验探究题时,有的学生只从图形入手,盲目实践。这显然是方法上出了问题。
  例3、如图,是连接在一起的两个正方形,大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问:若只许剪两刀应如何裁剪,使之能拼成一个新的大正方形?
  教学时我们会经常发现,对于这一问题学生往往采取实验的方法,不是这里裁一刀,就是那里试一剪,却很少有人能在短时间内完成任务。这事教师可以引导学生对本题加以分析:从已知到结论,图形虽然变了,但面积却没变,若设小正方形的边长为1,这样我们仅需沿着图2中边长为■的线段去考虑裁剪即可,而图中这样的线段又很容易找到,答案便一目了然。
  抓住问题从“变”到“不变”的转化,从“形”的外表到“数”的内涵的深化,形中有数、形数兼顾,这正是数学中“数形结合”的精髓所在。
  基于以上所言,我们不难发现数形结合所具有形象的直观、易于接受的优点,也不难发现它对于沟通知识间的联系,开阔学生的思路,发展学生的潜能,提高学生的创造思维能力和开拓精神,使学生充分张扬个性,充分发挥潜能,真正实现个体的最优化发展的确有很大帮助。 rn4爱N次

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